“日本の教科書 ？？？” シリーズ！ 数学の巻△ ( ..)φメモメモ

学生さんと勉強をしていると、

たま～に、

教科書の記述に不思議な部分を発見します。

何てことはないかも知れませんが、

教科書の不思議に迫っていくシリーズの開始です。

今回は、“数学の教科書”、‘ベクトル’についてです。



教科書によくある記述として、

『ベクトルとは、‘大きさ’と‘向き’を持つ量の事を言う。』

矢印の記号とともに、こんな記述をよく見かけますよね。

それで、純粋な学生さんは、「なるほど、そうか～。」なんて信じ込んでしまうわけです。

ところが、これが大学に行くと一変してしまい、「あら～？！」っとなるのです。

それでは、高校生の皆さんにも簡単に感じられるベクトルのお話に行きましょう。

そもそも、ベクトルとは、

\[ \vec{a} = (a_1, a_2, \cdots, a_n) \]

のような、横や縦に数字を羅列したものを言います。

数字を並べただけなら、タダのデータくらいにしかなりませんが、

そこに、タス・ヒク・カケルなどの演算を定義することで、

数学の対象としてのベクトルになるわけですね。

でも、それだけでは高校の教科書にあるような、

‘大きさ’や、‘向き’というのは何だか出てきそうもありません。

そう、実はベクトルというものを普通に考えただけでは、

そこに‘大きさ’も、‘向き’も自然に備わっていないのです。

そこで、ある道具を使って、大きさと向き（角度）を定義するのですが、

さて、勘のいい人ならもう分かるかな？

いかがでしょうか。

その道具の正体は…、“内積”です。

それでは、内積の働き方について少々触れてみましょう。

ある性質をもったベクトルたちよ集まれ～っていって、

出来るのが、「ベクトル空間」です。

ここには、先程のように、大きさも向きもありません。

そこで、内積によって大きさと向きを定めてやると、

量の定義されたベクトル空間という事で、

これが、『計量ベクトル空間』となるわけですね。

そんなわけで、内積とは、ベクトル空間に向きと大きさを与えてくれる、

非常に大切な道具であることがわかりました。

特に、直交する性質を示すために、

内積＝0

なんてのもよく使いますよね。

さて、今回はこんな感じで終了します。

面白かったですか

次回も、お楽しみに