『覚える公式を減らしちゃおー！』 力学基礎編♪ ＼(^o^)／

先日お話した

『覚える公式を減らす方法』

について基本中の基本をやってみましょう
あんまり簡単なので気抜けしないでくださいね

一次元での運動方程式は、

$m\ddot{x}=F$

でしたね。

もっとも簡単な例として、$m$と$F$は定数という事にしましょう。

そうすると元の式を、

$\ddot{x}=\frac{F}{m}$

と変形して、$x$に関する二回の線形微分方程式として解いていくことになるわけです。

微分方程式を解いていくので、『初期条件』（←この言葉知ってますか？）を設定しましょう
【$t=0$の時$v=v_0$、$x=x_0$】としましょう。

$\ddot{x}=\frac{F}{m}$

を時間で一回積分すると、

$\dot{x}=\frac{F}{m}t+c_1$

ここで、$c_1$は積分定数です。
『初期条件』より、

$c_1=v_0$

したがって、積分後の式は、

$\dot{x}=\frac{F}{m}t+v_0$

となります。 この式をさらに時間で積分すると、

$x=\frac{F}{2m}t^2+v_0t+c_2$（$c_2$は積分定数）

となって、先程と同様に『初期条件』より、

$c_2=x_0$

となりますね。したがって、

$x=\frac{F}{2m}t^2+v_0t+x_0$

となりました

この二つの式、

$v(t)=\dot{x}=\frac{F}{m}t+v_0$
$x(t)=\frac{F}{2m}t^2+v_0t+x_0$

が、今回の微分方程式の解なのですが、これって、教科書によくのっていますよね
ですから、“公式”と大上段に構えるほどのものでもないというのが解っていただけると思います。

今回は『等加速度運動』のお話でしたが、そうでない場合も当然当てはまりますので、追って触れていきたいと思います

それではまた